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如果计算啤酒欢迎度民意测验数据的 X 平方分布统计，会得到值 9.80。要检验虚假设，需要知道在假设存在随机抽样可变性的情况下获得这么一个极限值的概率。要得出这一概率，需要理解 X 平方分布的抽样分布是什么样的。

在每幅图中，横轴表示所得到的 X 平方分布值大小（图中所示范围从 0 到 10）。纵轴显示各 X 平方分布值的概率（或称为出现的相对频率）。 当您研究这些 X 平方分布图时，请注意，当您在实验中改变自由度（即 df）时，概率函数的形状会改变。对于民意测验数据的示例，自由度是这样计算的：记下民意测验中的回答选项（k）的数目，然后用这个值减 1（df = k - 1）。

通常，当您在实验中增加回答选项的数目时，获得较大 X 平方分布值的概率会下降。这是因为当增加回答选项时，就增加了方差值的数目 — (观察值 - 期望值)2 — 您可以求它的总数。因此，当您增加回答选项时，获得大的 X 平方分布值的统计概率应该增加，而获得较小 X 平方分布值的概率会减少。这就是为什么 X 平方分布的抽样分布的形状随着 df 值的不同而变化的原因。

此外，要注意到通常人们对 X 平方分布结果的小数点部分不感兴趣，而是对位于所获得的值右边曲线的总计部分感兴趣。该尾数概率告诉您获取一个象您观察到的极限值是可能（如一个大的尾数区域）还是不可能（小的尾数区域）。（实际上，我不使用这些图来计算尾数概率，因为我可以实现数学函数来返回给定 X 平方分布值的尾数概率。我在本文后面讨论的 X 平方分布程序中会采用这种做法。）

要进一步了解这些图是如何派生出来的，可以看看如何模拟与 df = 2（它表示 k = 3）对应的图的内容。想象把数字 1、2 和 3 放进帽子里，摇一摇，选一个数字，然后记录所选的数字作为一次尝试。对这个实验进行 300 次尝试，然后计算 1、2 和 3 出现的频率。

每次您做这个实验时，都应当期望结果有稍微不同的频率分布，这一分布反映了抽样的可变性，同时，这个分布又不会真正偏离可能的概率范围。

下面的 Multinomial 类实现了这一想法。您可以用以下值初始化该类：要做实验的次数、每个实验中所做尝试的次数，以及每次试验的选项数目。每个实验的结果记录在一个名为 Outcomes 的数组中。

清单 1. Multinomial 类的内容

<?php

// Multinomial.php

// Copyright 2003, Paul Meagher
// Distributed under LGPL

class Multinomial {

var $NExps;
var $NTrials;
var $NOptions;
var $Outcomes = array();

function Multinomial($NExps, $NTrials, $NOptions) {
$this->NExps = $NExps;
$this->NTrials = $NTrials;
$this->NOptions = $NOptions;
for ($i=0; $i < $this->NExps; $i++) {
$this->Outcomes[$i] = $this->runExperiment();
}
}

function runExperiment() {
$Outcome = array();
for ($i = 0; $i < $this->NExps; $i++){
$choice = rand(1,$this->NOptions);
$Outcome[$choice]++;
}
return $Outcome;
}

}
?>

请注意，runExperiment 方法是该脚本中非常重要的一部分，它保证在每次实验中所做出的选择是随机的，并且跟踪到目前为止在模拟实验中做出了哪些选择。

为了找到 X 平方分布统计的抽样分布，只需获取每次实验的结果，

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